（圆周率小史）方法和能力的试金石.doc

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1、方法和能力的试金石圆周率小史无论什么圆，它的周长与直径之比总是一个常数，人们把这个常数叫做圆周率，记为。在希腊文中，是饼的头一个字母，饼是圆的，因此，古希腊人用表示圆周率，恰到好处地反映了圆的本质。是多少？人类探索了几千年，至今仍然是数学家和计算机专家继续探讨的课题。早期的人类，用3作为圆周率的近似值。远在上古时期，我国就有“径一周三”的古率（周髀算经中有述）旧约全书列王记中也有使用圆周率为3的记载（公元前九世纪前后）大约在公元前2000年，巴比伦人认为 =3. 125。在此前后，古埃及人认为直径为9的圆和边长为8的正方形的面积相当，这意味着 =3. 1604。由于圆周率是一个无理数，人们无法

2、以当时已知的有理数准确地表示它，但却能不断以有理数越来越精确地逼近它。求更精确的圆周率成为古代数学的一个经久不衰的热门课题，人们对它的研究热情达到了这种程度，以致于人们倾向于认为：“在数学发展的历史上，许多国家的数学家都曾寻找过更精确的圆周率，因此，圆周率的精确程度可以作为衡量某个国家古代数学发展水平的标志。”从公元前三世纪到公元十七世纪这漫长的二千多年里，中外数学家经过不懈努力，主要利用古典方法人工计算的值。在数学史上留下不朽的篇章。作为的计算的最早的科学的尝试看来是阿基米德的工作。公元前240年左右，阿基米德利用计算的古典方法计算圆内接正多边形和圆外切正多边形周长的方法，得出了这样的事实：

3、介于和之间。公元前150年左右，在阿基米德以后的第一个值得提及的的值是由亚历山大里亚的克罗狄乌斯托勒密在他的大辑里给出的，这是古希腊的最伟大的天文学著作。在这一著作中所给出的值是3. 830这里所使用的是六十进位制，也即，或3. 1416。这个数值是从论著中所刊登的弦表推算出来的。公元462年，我国的祖冲之给出了的一个有趣的有理近似值：=3. 1415929，这一数值准确到了六位小数。在这以后，有1630年，格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算至39位小数，这是通过多边形的周长去计算值的最后的重要尝试。1650年，英国数学家约翰瓦里斯得出了下面的奇怪的表达式： 皇家学会的第一任主席布隆克爵士，把瓦

4、里斯的结果变为连分数。但这两个表达式都没有被用于值的大规模计算。1706年，J麦金利用级数得出了的100位小数。1841年，英国的威廉卢瑟福利用级数计算至208位，后来发现其中的前152位是正确的。最了不起的人工计算要算是Z达什这是一个闪电般的计算者，他在1844年算出了的准确的200位数字。他曾在54秒内完成了两个8位数的乘法，在6分钟内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法，而在8小时又45分钟内完成了两个100位数的乘法，他也曾在52分钟内算得一个100位数的平方根。1873年英国的威廉桑克斯计算至707位，在很长的时间内，这一直是所曾进行过的关于的计算中最惊人的

5、结果。1946年，英国的DF弗格桑发现桑克斯的计算从528位开始是错误的，他于1947年1月给出了的准确的701位数字。在同一个月中，美国的JW雷恩奇也发表了的808位数值，但弗格森立即发现了其中在第723位上的错误。1948年1月，弗格森和雷恩奇联合发表了经过检查的正确的的808位数字。1777年，德布丰设计了著名的“小针问题”，借助它可以通过概率的方法来得出的近似值。1901年，意大利人拉兹瑞尼得出利用这种方法的最佳结果：他只抛了3408次就得出了的六位准确的小数！但是，由于这一结果远远佳于其他的实验者所得出的结果，因此，人们对此有时是有所怀疑的。此外，也还有其他的计算的概率方法。随着计算

6、机的出现，计算的准确数字的位数快速增加。1949年，在美国马里兰州阿伯丁的军队炸药研究中心中，用电子计算机计算至第2037位小数。1959年，F谢纽斯在巴黎用计算机计算至16167位小数。60年代则达到五十万位。70年代的最高纪录是一百万位。80年代后期，已经有人将精确计算到一亿位数字。1995年的最高纪录是6,442,450,938位，简直不可思议。为什么人们要如此精确地计算的值呢？总起来说有三个方面的原因：一是检查电子计算机硬件和软件的完整性以及计算方法的有效性。二是为了研究的数字分布规律。第三个方面的动机可能最根本，是人类的一种进取精神。创造计算的世界纪录，如同征服了人类从未攀登过的高山

7、，如同创造了一项新的百米赛跑纪录，令人激动不已。人们在的演武场，竟显人的智慧与功力，接受着来自最美丽的图形圆的挑战。最后，还要说一说祖冲之关于圆周率的计算，他得到这样两项成果： 圆周率的小数近似值 3. 14159263. 1415927。 圆周率的近似分数密率=，约率=。它们都是具有世界历史意义的成果。第项是具有8位准确数字的圆周率的近似值，其重要之处还在于他由不足和过剩两个方面作了“逼近”性近似，他的这项成果直到1424年前才为阿拉伯学者卡西所超越。第项中的密率是的一个具有独特性质的近似分数：它是所有分母小于16604的分数中与值最接近的最佳近似分数！祖冲之的这两大成就在世界上均保持领先地

8、位1000余年。【附录】一、【祖冲之简介】祖冲之，字文远，生于公元429年，卒于公元500年。他的祖籍是范阳郡蓟县（现河北省涞源县）。他是南北朝时代南朝宋齐之间的一位杰出的科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且是一位文学家。祖冲之注解了我国历史上的名著九章算术。他接受了刘徽算圆周率的方法，但是他并不满足于刘徽的结果3. 14，他进一步计算，算到圆内接正1536边形，得出圆周率3. 1416。但是他还不满足于这一结果，又推算下去，用一丈作为圆的直径，并把它分为一亿等份，计算得圆周率 3. 14159263. 1415927。这一结果的重要意义在于指出误差范围。祖家世

9、世代代都对天文历法有研究，他比较容易接触到数学的文献和历法资料，因此他从小对数学和天文学就发生兴趣。用他自己的话来说，他从小就“专攻数术，搜炼古今”，这“搜”、“炼”两个字，刻划出他的治学方法和精神。他不但阅读祖辈相传的文献资料，还主动寻找各个时代的各项文献和观察记录。他不仅阅读了这些文献资料，并且把自己所搜集到的资料经过消化，据为已有。他广博地学习和消化了古人的成就和古代的资料，但是不为古人所局囿，他决不“虚推古人”。他在历法方面测出了地球绕日一周的时间是365. 24281481日，跟现在知道的数据365. 2422对照，他的数值准确到小数第三位。他提出了把农历的19年7闰改为391年14

10、4闰的主张。祖冲之的天文学成就得到世界的公认，1959年，当人类第一次看到月球背面的景观时，用人类历史上著名的天文学家的名字为它们命名，其中有一座环形山就被命名为“祖冲之山”。祖冲之是一位通才式科学家，他对各种机械作过深入研究，他重造了指南车，改进了水碓磨，创制了一艘“千里船”以及当时用的计时器漏壶。人称他“精通钟律，独步一时”，他还写过小说述异记十卷，注过经书易经、论语、孝经等。他著作颇丰，见于记载的有：缀术、九章述义注、大明历、驳论、安边论、述异记、易老庄义释、论语孝经注等，但多已失传，留传至今的仅有大明历、驳论等少数几篇。祖冲之的数学专著缀术已经失传，隋书中写道：“祖冲之所著书，名为缀术

11、，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”这是我国数学史上的一个重大损失。二、【祖冲之的故事】祖冲之从小就读了不少书，人家都称赞他是个博学的青年。他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。他根据他长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。这种历法测定的每一回归年（也就是

12、两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。公元462年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。 祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。

13、直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行。三、【圆周率的名称及其符号】我国古代，人们经过大量实践，认识了圆周率，并估计出圆的周长是其直径的三倍，后人便把这一值称为古率。刘徽由于对古率不满，创造了割圆术求出圆周率近似值为=，=，并称为徽率或徽术。祖冲之算出其近似值为=，=，称前者为约率，后者为密率。十六世纪，荷兰数学家鲁道夫范寇勒恩于1596年求出圆周率近似值小数点后十五位数字，然后又算到三十五位数字，并把这一值刻在他的墓碑上。后人为了纪念他，便把圆周率的近似值叫做鲁道夫数。可见，在此之前，圆周率没有固定名称，有的称为圆周率，有的是以创造人的姓名命名的，有的则以近似值的特点命名。1647年，英国数学家奥特雷特使用表示圆周率的近似值或。他便成为使用符号表示圆周率的先驱。英国数学家琼斯于1706年便改用符号表示圆周率，大数学家欧拉于1737年也用表示圆周率，从此，人们便逐渐地用来表示圆周率了。后来，我国对圆周率的命名仍不一致。有的称为圆率，有的称为圜率，有的称为密率，也有的称为周率。至于符号也较紊乱。李善兰在代微积拾级里用“周”字代表以表示圆周率；而形学备旨、代数备旨则以“冂”表示。直到二十世纪初期，我国数学著作由竖排改为横排，才比较统一地以表示圆周率。初级算学说：“圆周与直径之比，平常表示以”。