1、卷积积分及其性质2.3 卷积积分2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解(1)预备知识问 f1(t)=?p(t)直观看出2.3 卷积积分(2)任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为，用p(t)表示为：f(0)p(t)“1”号脉冲高度f(),宽度为，用p(t-)表示为：f()p(t-)“-1”号脉冲高度f(-)、宽度为，用p(t+)表示为：f(-)p(t+)2.3 卷积积分2f1(t)*f2(t)，同理，R21(t)=f1(t)*f2(t)。 特别地，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。 2.4 卷积积分的性质3.相关函数的图解(0t12)4.实功率有限信号相关函数的定义若f1(t)与f2(t)是实功率有限信号（1）互相关函数：（2）自相关函数：2.4 卷积积分的性质解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有5.求解实例2.4 卷积积分的性质感谢观看。
2、任意信号作用下的零状态响应yzs(t)f(t)根据h(t)的定义：(t)h(t)由时不变性：(t-)h(t-)f()(t-)由齐次性：f()h(t-)由叠加性：f(t)yzs(t)卷积积分2.3 卷积积分3.卷积积分的定义已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的相关函数的定义 相关与卷积的关系 相关函数的图解五、相关函数2.4 卷积积分的性质1.实能量有限信号相关函数的定义两个实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数定义为由上式可得，R12()=R21()。 （2）自相关函数：显然，R(-)=R()，R()为偶函数。 2.4 卷积积分的性质在上式中若f1(t)=f2(t)=f(t)，得自相关函数（1）互相关函数：2.相关与卷积的关系可见，R12(t)=。
3、为积分变量，t为参变量。 结果仍为t 的函数。 2.3 卷积积分例：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1)(t)，求yzs(t)。 解：采用定义法卷积。 当t t时，(t-)=0f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)可见，R12(t)=f1(t)*f2(t)，两个实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数定义为求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。 对于容易求积分的函数比较有效。 如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。 特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。 比较灵活。 三者常常结合起来使用。 相关函数是研究一个函数和另一个函数经过一个延时后的相似程度，它被广泛应用于雷达回波的识别、通信同步信号的识别等领域，是鉴别信号的有力工具。 相关是一种与卷积类似的运算。 与卷积不同的是没有一个函数的反转。
4、三者常常结合起来使用。 求卷积是本章的重点与难点。 解：f1(t)=2(t)2(t 1)f()h(t-)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。 例2：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)（1）换元：t换为得 f1()，f2()显然，R(-)=R()，R()为偶函数。 2.3 卷积积分用定义法计算卷积积分步骤：（1）换元：f求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1)f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1)由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2)2.4 卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。
5、1(t)f1()，f2(t)f2(t)（2）视情况变积分限：f1()f2(t-)中是否含有()或(t)，如果有()，则将积分下限换为0，如果有(t)，则将积分上限换为t(注意：t为参变量，为自变量)。 （3）积分：与普通函数积分一致。 2.3 卷积积分二、卷积的图解法（1）换元：t换为得 f1()，f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()，然后右移t f2(t-)（3）乘积：f1()f2(t-)（t)*f2(t)，则 f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2)前例：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)利用时移特性，有(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)2.4 卷积积分的性质例：f1(t),f2(t)如图。
6、4）积分：从 到对乘积项积分。 注意：t为参变量。 用图解法计算卷积积分步骤：2.3 卷积积分例：f(t),h(t)如图，求yzs(t)=f(t)*h(t)。 解：采用图解法卷积。 h(t-)h()反折h(-)平移t t 0时,h(t-)向左移h(t-)f()=0，故yzs(t)=0 0t 1 时,h(t-)向右移 1t 2时 3t 时h(t-)f()=0，故yzs(t)=0f(t)函数形式复杂换元为f()t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)例2:图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。 求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。 (a)(b)解：如图（c）所示(c)2.4 卷积积分的性质解：f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t 2)*f2(t)(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷积的时移特性若 f(t)=f1。
7、h(t)换元h()2t 3 时0h(t)h()f()h(t)2.3 卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。 确定积分的上下限是关键。 例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-)f1(2-)解：（1）换元（2）f1()得f1()（3）f1()右移2得f1(2)（4）f1(2)乘f2()（5）积分，得f(2)=0（面积为0）的性质例1：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得f2(t)*f1(t)=注意：套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的。 例2：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(t)=(t)(t 2)f1。
8、2.4 卷积积分的性质 卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质 卷积的时移特性卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 “-1”号脉冲高度f(-)、宽度为，用p(t+)表示为：f1(t)*f2(t)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）f(t)=f1(t)*f2(t)显然，R(-)=R()，R()为偶函数。 （3）积分：与普通函数积分一致。 特性质注意区分：t(t)特例：2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质1.证：上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t)3.在f1()=0和f2()=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)2.4 卷积积分。
9、别适用于求某时刻点上的卷积值。 两个实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数定义为解：通常复杂函数放前面，代入定义式得系统级联，框图表示：f1(t)*f2(t)卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)二、函数与冲激函数的卷积由于(t)*(t)=t(t)证：上式=(t)*f1(t)*f2(tt)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；f()p(t-)特别地，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。 t 0时,h(t-)向左移例2：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)f1(t)=(t)(t 2)如指数函数，多项式函数等。 确定积分的上下限是关键。 由f2()反转 f2()，然后右移t f2(t-)3.f(t)*(t)(t)*(t)=？2.4 卷积积分的。
10、h(t-)f()=0，故 yzs(t)=0例：f(t),h(t)如图，求yzs(t)=f(t)*h(t)。 2.4 卷积积分的性质下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数满足乘法的三律：1.交换律：2.分配律：系统并联运算3.结合律：系统级联运算证明：系统并联系统并联，框图表示：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。 2.4 卷积积分的性质系统级联系统级联，框图表示结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 2.4 卷积积分的性质2.4 卷积积分的性质二、函数与冲激函数的卷积1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)证：f(t)*(t t0)=f(t t0)2.f(t)*(t)=f(t)证：f(t)*(n)(t)=f(n)(t)“0”号脉冲高度f(0),宽度为，用p(t)表示为：f(0)p(t)求解卷积的方法可归纳为：f()(t-)为f1(。
ICP备案号: